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第 1 章 函数、图像和直线
1.1 函数
函数 是将一个对象转化为另一个对象的规则。起始对象称为输入, 来自称为定义域的集合。返回对象称为输出, 来自称为上域的集合。
f 是一个变换规则, 而 f (x) 是把这个变换规则应用于变量 x 后得到的结果. 因此, 说 “f (x) 是一个函数” 是不正确的, 应该说 “f 是一个函数”.
一个函数必须给每一个有效的输入指定唯一的输出.
值域是所有可能的输出所组成的集合…可能会有重复…值域实际上是上域的一个子集. 上域是可能输出的集合, 而值域则是实际输出的集合.
1.1.1 区间表示法
我们约定, [a, b] 是指从 a 到 b 端点间的所有实数, 包括 a 和 b. 所以 [a, b] 指的是所有使得 a ≤ x ≤ b 成立的 x 的集合.
像 [a, b] 这种形式表示的区间我们称作闭区间.
(a, b) 指的是介于 a 和 b 之间但不包括 a 和 b 的所有实数的集合.
[a, b) 指的是介于 a 和 b 之间、包括 a 但不包括 b 的所有实数的集合; (a, b] 包括 b, 但不包括 a. 这些区间在一个端点处是闭的, 而在另一个端点处是开的. 有时候, 像这样的区间称作半开区间. 上述的 {x : 2 ≤ x < 5} 就是一个例子, 也可以写成 [2, 5).
1.1.2 求定义域
1.1.3 利用图像求值域 ATTACH
让我们来定义一个新的函数 F , 指定其定义域为 [-2, 1], 并且 F (x) = x2 在此定义域上.
F 和 f 是同一个函数吗？回答是否定的, 因为两个函数的定义域不相同…F 的值域又是什么呢？
图 1-1 图 1-1 中左侧的影子覆盖了 y 轴从 0 到 4 (包括 0 和 4) 的所有点, 也就是 [0, 4]; 另一方面, 右侧的影子覆盖了从 0 到 1 (包括 0 和 1)的所有点, 也就是 [0, 1]. 右侧的影子没有贡献更多, 全部的覆盖范围仍然是 [0, 4]. 这就是函数 F 的值域.
1.1.4 垂线检验
关键思想是, 你不可能有两个点有相同的 x 坐标. 换句话说, 在图像上没有两个点会落在相对于 x 轴的同一条垂线上.
垂线检验：如果你有某个图像并想知道它是否是函数的图像, 你就看看是否任何的垂线和图像相交多于一次. 如果是这样的话, 那它就不是函数的图像; 反之, 如果没有一条垂线和图像相交多于一次, 那么你的确面对的是函数的图像.
1.2 反函数
从输出 y 出发, 这个新的函数发现一个且仅有一个输入 x 满足 f (x) = y. 这个新的函数称为 f 的反函数, 并写作 f -1.
1.2.1 水平线检验
水平线检验：如果每一条水平线和一个函数的图像相交至多一次, 那么这个函数就有一个反函数. 如果即使只有一条水平线和图像相交多于一次, 那么这个函数就没有反函数.
1.2.2 求反函数
1.2.3 限制定义域
如果水平线检验失败因而没有反函数, 那应该怎么办呢？我们面临的问题是, 对于相同的 y 有多个 x 值. 解决此问题的唯一方法是：除了这多个 x 值中的一个, 我们放弃所有其他值. 也就是说, 必须决定要保留哪一个 x 值, 然后放弃剩余的值. 正如我们在 1.1 节中看到的, 这称为限制函数的定义域.
1.2.4 反函数的反函数
如果 f 有反函数, 那么对于在 f 定义域中的所有 x, f -1 (f (x)) = x 成立; 同样, 对于在 f 值域当中的所有 y, 都有 f (f -1 (y)) = y. (记得, f 的值域和 f -1 的定义域相同, 所以对于 f 值域中的 y, 我们确实可以取到 f -1 (y), 不会导致任何曲解. )
1.3 函数的复合
函数的复合并不是把它们相乘. 例如 f (x) = x2 sin(x), f 不是两个函数的复合, 因为对任意给定的 x, 计算 f (x) 的值需要求解 x2 和 sin(x)(先求哪个值都没关系, 这与复合函数不同)
1.4 奇函数和偶函数
Even and Odd Functions
f (x) = x2 的函数 f , 任选一个正数 (我选 3) 作用于函数 f (得到 9). 现在取该数的负值, 由我选择的数可得 -3, 将其作用于函数 f (又得到 9).
如果对 f 定义域里的所有 x 有 f (-x) = f (x), 则 f 是偶函数.
偶函数的图像关于 y 轴具有镜面对称性.
当对 f 定义域内所有 x 都有 f (-x) = -f (x) 时, f 是奇函数.
奇函数的图像关于原点有 180° 的点对称性.
大多数函数是非奇非偶的
只有一个函数是既奇又偶的, 它就是非常单调的对所有 x 都成立的 f (x) = 0(我们称之为零函数).
1.5 线性函数的图像
形如 f (x) = mx + b 的函数叫作线性函数.
通过斜率找到函数的公式：
已知直线通过 (x_0, y_0)，斜率为 m，则它的方程为 y-y_0 = m(x-x_0)
1.6 常见函数及其图像
第 2 章 三角学回顾
2.1 基本知识
2.2 扩展三角函数定义域
2.2.1 ASTC 方法
2.2.2 [0; 2π] 以外的三角函数
2.3 三角函数的图像
2.4 三角恒等式
第 3 章 极限导论
3.1 极限：基本思想
3.2 左极限与右极限
3.3 何时不存在极限
3.4 在∞ 和-∞ 处的极限
3.5 关于渐近线的两个常见误解
3.6 三明治定理
3.7 极限的基本类型小结
第 4 章 求解多项式的极限问题
4.1 x → a 时的有理函数的极限
4.2 x → a 时的平方根的极限
4.3 x → ∞ 时的有理函数的极限
4.4 x → ∞ 时的多项式型函数的极限
4.5 x → -∞ 时的有理函数的极限
4.6 包含绝对值的函数的极限
第 5 章 连续性和可导性
5.1 连续性
5.1.1 在一点处连续
5.1.2 在一个区间上连续
5.1.3 连续函数的一些例子
5.1.4 介值定理
5.1.5 一个更难的介值定理例子
5.1.6 连续函数的最大值和最小值
5.2 可导性
5.2.1 平均速率
5.2.2 位移和速度
5.2.3 瞬时速度
5.2.4 速度的图像阐释
5.2.5 切线
5.2.6 导函数
5.2.7 作为极限比的导数
5.2.8 线性函数的导数
5.2.9 二阶导数和更高阶导数
5.2.10 何时导数不存在
5.2.11 可导性和连续性
第 6 章 求解微分问题
6.1 使用定义求导
6.2 用更好的办法求导
6.2.1 函数的常数倍
6.2.2 函数和与函数差
6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数
6.2.4 通过商法则求商函数的导数
6.2.5 通过链式求导法则求复合函数的导数
6.2.6 那个难以处理的例子
6.2.7 乘积法则和链式求导法则的理由
6.3 求切线方程
6.4 速度和加速度
6.5 导数伪装的极限
6.6 分段函数的导数
6.7 直接画出导函数的图像
第 7 章 三角函数的极限和导数
7.1 三角函数的极限
7.1.1 小数的情况
7.1.2 问题的求解——小数的情况
7.1.3 大数的情况
7.1.4 “其他的” 情况
7.1.5 一个重要极限的证明
7.2 三角函数的导数
7.2.1 求三角函数导数的例子
7.2.2 简谐运动
7.2.3 一个有趣的函数
第 8 章 隐函数求导和相关变化率
8.1 隐函数求导
8.1.1 技巧和例子
8.1.2 隐函数求二阶导
8.2 相关变化率
8.2.1 一个简单的例子
8.2.2 一个稍难的例子
8.2.3 一个更难的例子
8.2.4 一个非常难的例子
第 9 章 指数函数和对数函数
9.1 基础知识
9.1.1 指数函数的回顾
9.1.2 对数函数的回顾
9.1.3 对数函数、指数函数及反函数
9.1.4 对数法则
9.2 e 的定义
9.2.1 一个有关复利的问题
9.2.2 问题的答案
9.2.3 更多关于 e 和对数函数的内容
9.3 对数函数和指数函数求导
9.4 求解指数函数或对数函数的极限
9.4.1 涉及 e 的定义的极限
9.4.2 指数函数在 0 附近的行为
9.4.3 对数函数在 1 附近的行为
9.4.4 指数函数在∞ 或-∞ 附近的行为
9.4.5 对数函数在∞附近的行为
9.4.6 对数函数在 0 附近的行为
9.5 取对数求导法
9.6 指数增长和指数衰变
9.6.1 指数增长
9.6.2 指数衰变
9.7 双曲函数
第 10 章 反函数和反三角函数
10.1 导数和反函数
10.1.1 使用导数证明反函数存在
10.1.2 导数和反函数：可能出现的问题
10.1.3 求反函数的导数
10.1.4 一个综合性例子
10.2 反三角函数
10.2.1 反正弦函数
10.2.2 反余弦函数
10.2.3 反正切函数
10.2.4 反正割函数
10.2.5 反余割函数和反余切函数
10.2.6 计算反三角函数
10.3 反双曲函数
第 11 章 导数和图像
11.1 函数的极值
11.1.1 全局极值和局部极值
11.1.2 极值定理
11.1.3 求全局最大值和最小值
11.2 罗尔定理
11.3 中值定理
11.4 二阶导数和图像
11.5 对导数为零点的分类
11.5.1 使用一次导数
11.5.2 使用二阶导数
第 12 章 绘制函数图像
12.1 建立符号表格
12.1.1 建立一阶导数的符号表格
12.1.2 建立二阶导数的符号表格
12.2 绘制函数图像的全面方法
12.3 例题
12.3.1 一个不使用导数的例子
12.3.2 完整的方法：例一
12.3.3 完整的方法：例二
12.3.4 完整的方法：例三
12.3.5 完整的方法：例四
第 13 章 最优化和线性化
13.1 最优化
13.1.1 一个简单的最优化例子
13.1.2 最优化问题：一般方法
13.1.3 一个最优化的例子
13.1.4 另一个最优化的例子
13.1.5 在最优化问题中使用隐函数求导
13.1.6 一个较难的最优化例子
13.2 线性化
13.2.1 线性化问题：一般方法
13.2.2 微分
13.2.3 线性化的总结和例子
13.2.4 近似中的误差
13.3 牛顿法
第 14 章 洛必达法则及极限问题总结
14.1 洛必达法则
14.1.1 类型 A：0/0
14.1.2 类型 A：±∞/ ±∞
14.1.3 类型 B1: (∞－∞)
14.1.4 类型 B2: (0 ×±∞)
14.1.5 类型 C:(1±∞, 0º 或∞º)
14.1.6 洛必达法则类型的总结
14.2 关于极限的总结
第 15 章 积分
15.1 求和符号
15.1.1 一个有用的求和
15.1.2 伸缩求和法
15.2 位移和面积
15.2.1 三个简单的例子
15.2.2 一段更常规的旅行
15.2.3 有向面积
15.2.4 连续的速度
15.2.5 两个特别的估算
第 16 章 定积分
16.1 基本思想
16.2 定积分的定义
16.3 定积分的性质
16.4 求面积
16.4.1 求通常的面积
16.4.2 求解两条曲线之间的面积
16.4.3 求曲线与 y 轴所围成的面积
16.5 估算积分
16.6 积分的平均值和中值定理
16.7 不可积的函数
第 17 章 微积分基本定理
17.1 用其他函数的积分来表示的函数
17.2 微积分的第一基本定理
17.3 微积分的第二基本定理
17.4 不定积分
17.5 怎样解决问题：微积分的第一基本定理
17.5.1 变形 1：变量是积分下限
17.5.2 变形 2：积分上限是一个函数
17.5.3 变形 3：积分上下限都为函数
17.5.4 变形 4：极限伪装成导数
17.6 怎样解决问题：微积分的第二基本定理
17.6.1 计算不定积分
17.6.2 计算定积分
17.6.3 面积和绝对值
17.7 技术要点
17.8 微积分第一基本定理的证明
第 18 章 积分的方法 I
18.1 换元法
18.1.1 换元法和定积分
18.1.2 如何换元
18.1.3 换元法的理论解释
18.2 分部积分法
18.3 部分分式
18.3.1 部分分式的代数运算
18.3.2 对每一部分积分
18.3.3 方法和一个完整的例子
第 19 章 积分的方法 II
19.1 应用三角恒等式的积分
19.2 关于三角函数的幂的积分
19.2.1 sin 或 cos 的幂
19.2.2 tan 的幂
19.2.3 sec 的幂
19.2.4 cot 的幂
19.2.5 csc 的幂
19.2.6 约化公式
19.3 关于三角换元法的积分
19.3.1 类型 1：√(α²-x²)
19.3.2 类型 2：√(x²+α²)
19.3.3 类型 3：√(x²-α²)
19.3.4 配方和三角换元法
19.3.5 关于三角换元法的总结
19.3.6 平方根的方法和三角换元法
19.4 积分技巧总结
第 20 章 反常积分：基本概念
20.1 收敛和发散
20.1.1 反常积分的一些例子
20.1.2 其他破裂点
20.2 关于无穷区间上的积分
20.3 比较判别法(理论)
20.4 极限比较判别法(理论)
20.4.1 函数互为渐近线
20.4.2 关于判别法的陈述
20.5 p 判别法(理论)
20.6 绝对收敛判别法
第 21 章 反常积分：如何解题
21.1 如何开始
21.1.1 拆分积分
21.1.2 如何处理负函数值
21.2 积分判别法总结
21.3 常见函数在∞ 和－∞附近的表现
21.3.1 多项式和多项式型函数在 1 和¡1 附近的表现
21.3.2 三角函数在∞ 和－∞ 附近的表现
21.3.3 指数在∞和－∞附近的表现
21.3.4 对数在∞ 附近的表现
21.4 常见函数在 0 附近的表现
21.4.1 多项式和多项式型函数在 0 附近的表现
21.4.2 三角函数在 0 附近的表现
21.4.3 指数函数在 0 附近的表现
21.4.4 对数函数在 0 附近的表现
21.4.5 更一般的函数在 0 附近的表现
21.5 如何应对不在 0 或∞ 处的瑕点
第 22 章 数列和级数：基本概念
22.1 数列的收敛和发散
22.1.1 数列和函数的联系
22.1.2 两个重要数列
22.2 级数的收敛与发散
22.3 第 n 项判别法(理论)
22.4 无穷级数和反常积分的性质
22.4.1 比较判别法(理论)
22.4.2 极限比较判别法(理论)
22.4.3 ρ 判别法(理论)
22.4.4 绝对收敛判别法
22.5 级数的新判别法
22.5.1 比式判别法(理论)
22.5.2 根式判别法(理论)
22.5.3 积分判别法(理论)
22.5.4 交错级数判别法(理论)
第 23 章 求解级数问题
23.1 求几何级数的值
23.2 应用第 n 项判别法
23.3 应用比式判别法
23.4 应用根式判别法
23.5 应用积分判别法
23.6 应用比较判别法、极限比较判别法和 p 判别法
23.7 应对含负项的级数
第 24 章 泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论
24.1 近似值和泰勒多项式
24.1.1 重访线性化
24.1.2 二次近似
24.1.3 高阶近似
24.1.4 泰勒定理
24.2 幂级数和泰勒级数
24.2.1 一般幂级数
24.2.2 泰勒级数和麦克劳林级数
24.2.3 泰勒级数的收敛性
24.3 一个有用的极限
第 25 章 求解估算问题
25.1 泰勒多项式与泰勒级数总结
25.2 求泰勒多项式与泰勒级数
25.3 用误差项估算问题
25.3.1 第一个例子
25.3.2 第二个例子
25.3.3 第三个例子
25.3.4 第四个例子
25.3.5 第五个例子
25.3.6 误差项估算的一般方法
25.4 误差估算的另一种方法
第 26 章 泰勒级数和幂级数：如何解题
26.1 幂级数的收敛性
26.1.1 收敛半径
26.1.2 求收敛半径和收敛区域
26.2 合成新的泰勒级数
26.2.1 代换和泰勒级数
26.2.2 泰勒级数求导
26.2.3 泰勒级数求积分
26.2.4 泰勒级数相加和相减
26.2.5 泰勒级数相乘
26.2.6 泰勒级数相除
26.3 利用幂级数和泰勒级数求导
26.4 利用麦克劳林级数求极限
第 27 章 参数方程和极坐标
27.1 参数方程
27.2 极坐标
27.2.1 极坐标与笛卡儿坐标互换
27.2.2 极坐标系中画曲线
27.2.3 求极坐标曲线的切线
27.2.4 求极坐标曲线围成的面积
第 28 章 复数
28.1 基础
28.2 复平面
28.3 复数的高次幂
28.4 解 z^n＝ w
28.5 解 e^z ＝ w
28.6 一些三角级数
28.7 欧拉恒等式和幂级数
第 29 章 体积、弧长和表面积
29.1 旋转体的体积
29.1.1 圆盘法
29.1.2 壳法
29.1.3 总结和变式
29.1.4 变式 1：区域在曲线和 y 轴之间
29.1.5 变式 2：两曲线间的区域
29.1.6 变式 3：绕平行于坐标轴的轴旋转
29.2 一般立体体积
29.3 弧长
29.4 旋转体的表面积
第 30 章 微分方程
30.1 微分方程导论
30.2 可分离变量的一阶微分方程
30.3 一阶线性方程
30.4 常系数微分方程
30.4.1 解一阶齐次方程
30.4.2 解二阶齐次方程
30.4.3 为什么特征二次方程适用
30.4.4 非齐次方程和特解
30.4.5 求特解
30.4.6 求特解的例子
30.4.7 解决 yP 和 yH 间的冲突
30.4.8 IVP
30.5 微分方程建模
