Expected Value
Definition
一个离散性随机变量的期望值，是试验中每次可能的结果乘以其结果概率的总和。
Formula
如果 X 是在概率空间 (Ω, F, P) 中的随机变量，那么它的期望值 E(X) 的定义是： \[ \operatorname {E} (X)=\int _{\Omega }X\,\mathrm {d} P \]
Example
例如，美国的轮盘中常用的轮盘上有 38 个数字，每一个数字被选中的概率都是相等的。赌注一般押在其中某一个数字上，如果轮盘的输出值和这个数字相等，那么下赌者可以获得相当于赌注 35 倍的奖金（原注不包含在内），若输出值和下压数字不同，则赌注就输掉了。考虑到 38 种所有的可能结果，然后这里我们的设定的期望目标是“赢钱”，则因此，讨论赢或输两种预想状态的话，以 1 美元赌注押一个数字上，则获利的期望值为：赢的“概率 38 分之 1，能获得 35 元”，加上“输 1 元的情况 37 种”，结果约等于-0.0526 美元。也就是说，平均起来每赌 1 美元就会输掉 0.0526 美元，即美式轮盘以 1 美元作赌注的期望值为负 0.0526 美元。 \[ {\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&=35\cdot {\frac {1}{38}}-1\cdot {\frac {37}{38}}\approx -0.0526\end{aligned}} \]