Continuous Probability Distributions
Definition
设 X 是具有分布函数 F 的连续随机变量，且 F 的一阶导数处处存在，则其导函数： \(f(x)={\frac {\operatorname {d} F(x)}{\operatorname {d} x}}\) 称 X 的概率密度函数。
每个概率密度函数都有如下性质： \(\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,{\rm {d}}x=1\) \(\int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x=\operatorname {P} (a\leq X\leq b)=F(b)-F(a)\)
第一个性质表明，概率密度函数与 x 轴形成的区域的面积等于 1，第二个 性质表明，连续随机变量在区间[a,b]的概率值等于密度函数在区[a,b]上的积分，也即是与 X 轴在[a,b]内形成的区域的面积。因为\({\displaystyle 0\leq F(x)\leq 1}0\leqF(x)\leq1\)，且 f(x)是 F(x)的导数， 因此按照积分原理不难推出上面两个公式。